Ders Anlatımı

Temel Kavramlar Konu Anlatımı ( Videolu )

Öncelikle sayı , rakam, sayma sayısı , doğal sayılar, pozitif doğal sayılar nedir onları tanımlayarak başlayalım.

Sayı, rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

Rakam, sayıları yazmaya yarayan sembollere denir.

Sayma sayıları, 1 den başlayıp sonsuza kadar giden sayılara denir.

Doğal sayılar ise O (sıfır) dan başlayarak sonsoza kadar giden sayılara denir.

Pozitif doğal sayılar, sıfırdan değil 1 den başlayan sayılardır.

Her rakam bir sayıdır.Ancak her sayı bir rakam değildir.

icon smile Temel Kavramlar Konu Anlatımı

Buna örneği siz verin bakalım 

Tam Sayılar Kümesi

Tam sayılar pozitif ve negatif tam sayılar olmak üzere ikiye ayrılır.

(.. -n … -3,-2,-1, 0 ,1 ,2,3,….n..)

gibi olan sayılardır tam sayılar. 1,2,3, 15, 45 gibi tam olacak. Kesirli, küsüratlı olmayacak. Adı üzerinde tam olacak.

Rasyonel Sayılar

a/b gibi olan yani 5/4 , 45/36 gibi bölülü olan sayılardır.

İrrasyonal Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen yani virgülden sonraki kısmı bilinemiyen sayılardır.

Örnekler;

3,4564

7,7360

Hem rasyonel ve hem irrasyonel olan sayı yoktur.

Sayı Çeşitleri

Tek sayılar : …,-5,-3,-1 , 1,3,5,7,… gibi giden sayılardır.

Çift sayılar : ,…,-6,-4,-2, 0,2,4,6,8 … diye giden sayılardır.

Pozitif Sayılar : Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar denir.  Örn; 1,2,3,4,5 … diye giden sayılar

Negatif Sayılar :Sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. Örn; …-4,-3,-2,-1  diye giden eksili sayılar

Asal Sayılar :Kendisi ile 1 e bölünebilen sayılardır. Asal sayılar 2 den başlar.

Örneğin 7 asal sayımıdır ?

7  hangi sayılara bölünüyor ilk önce ona bakalım. Yedi 1′ e bölünüyor. Yedi 7′ ye bölünüyor ve başka hiçbir sayıya bölünmüyor. O zaman 7 asal sayıdır.

Ardışık Sayılar : Ardarda gelen sayılardır. Örneğin; 1,2,3,4,5,6

Ardışık çift doğal sayılar; 2,4,6,8,…

Ardışık tek doğal sayılar; 1,3,5,7,9….

Polinomlar Konsununun Anlatımı

POLİNOMLAR NEDİR?
POLİNOM ÇEŞİTLERİ ?

Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar;

N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 +Î R ve n Îa0, a1, a2, ….an-1, an  …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1.) an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2.)an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3.)P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4.)Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5.)P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6.) Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.

Örnek:
NÎP(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  kaç olmalıdır?

Çözümü:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.www.matematikcifatih.tr.gg
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3,  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da³ 0 den n ³n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır ?

Çözümü:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.¹a0

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
an =ÛA(x) = B(x)  bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 – 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
5 = b – 1, a + 1 = -3, 0ÞA(x) = B(x)  = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI
R®P : R
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +®x  a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

R®P : R
P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.®x

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliğinde
h –2 = x’i yerineÞH = x + 2  yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözümü:
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0
B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
3 x + 4 polinomlarınınÖP(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 +  toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözümü:
3-3)Ö3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (ÖP(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) +  x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = – 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözümü:
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 – x3 – 2×2 – dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 – x3 –2×2 – )
= (5 + 5)x4 + ( – )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 – )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x – olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözümü
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.